在雨里写下名字-自动控制基础第二章控制系统的数学模型

第二章控制系统的数学模型

本章是控制工程的核心基础，学习如何用数学工具描述动态系统的行为。我们将从微分方程开始，逐步引入传递函数和结构图，覆盖所有关键概念、推导方法及工程应用。

2.1 线性系统的微分方程

1. 什么是动态系统的数学模型？

定义：用数学方程描述系统输入（ $u (t)$ ）与输出（ $y (t)$ ）之间的动态关系。
核心方程：微分方程（连续系统）或差分方程（离散系统）。

2. 建立微分方程的步骤

确定输入输出变量：例如，电路中的电压 $u (t)$ （输入）和电容电压 $y (t)$ （输出）。
根据物理定律列方程：基尔霍夫定律、牛顿力学、热力学定律等。
消去中间变量：保留输入 $u (t)$ 和输出 $y (t)$ ，其他变量用代数消去。
标准化形式：整理为输入在右侧、输出在左侧的微分方程。

3. 经典案例

(1) 电路系统：RLC串联电路

输入：电源电压 $u (t)$
输出：电容电压 $y (t)$
物理定律：基尔霍夫电压定律（KVL）
微分方程： $L C \frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} + RC \frac{d y}{d t} + y = u (t)$

(2) 机械系统：弹簧-质量-阻尼系统

输入：外力 $F (t)$
输出：质量块位移 $y (t)$
物理定律：牛顿第二定律（ $F = ma$ ）
微分方程： $m \frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} + b \frac{d y}{d t} + k y = F (t)$

$m$ ：质量， $b$ ：阻尼系数， $k$ ：弹簧刚度。

4. 线性系统的特性

叠加性：若输入 $u_{1} \to y_{1}$ ， $u_{2} \to y_{2}$ ，则输入 $a u_{1} + b u_{2} \to a y_{1} + b y_{2}$ 。
齐次性：若输入 $u \to y$ ，则输入 $k u \to k y$ （ $k$ 为常数）。

2.2 非线性特性的线性化

1. 为什么要线性化？

非线性系统难以解析求解，线性化后可利用线性系统理论分析。

2. 小信号线性化方法（泰勒展开法）

确定平衡点：假设系统在某一平衡点 $(u_{0}, y_{0})$ 附近工作。
泰勒展开：将非线性方程在平衡点处展开，忽略高阶项（ $Δ u^{2}, Δ y^{2}$ 等）。
线性近似方程：得到增量方程 $Δ y = K Δ u$ 。

案例：水箱液位非线性系统

非线性方程：出水流速 $q_{o u t} = C h$ （ $h$ 为液位）。
平衡点：稳态液位 $h_{0}$ ，此时输入流量 $q_{in 0} = C h_{0}$ 。
泰勒展开：在 $h_{0}$ 处展开，得到线性化方程： $Δ q_{o u t} \approx \frac{C}{2 h _{0}} Δ h$
线性模型：水箱的动态方程变为： $A \frac{d Δ h}{d t} = Δ q_{in} - \frac{C}{2 h _{0}} Δ h$

$A$ ：水箱底面积。

2.3 传递函数

1. 传递函数的定义

前提条件：线性时不变系统（LTI），零初始条件。
定义：输出拉普拉斯变换 $Y (s)$ 与输入拉普拉斯变换 $U (s)$ 之比： $G (s) = \frac{Y ( s )}{U ( s )}$

2. 传递函数的性质

仅适用于LTI系统。
与输入无关：反映系统本身的动态特性。
频域特性：令 $s = jω$ ，可分析系统频率响应。

3. 从微分方程求传递函数

步骤：

对微分方程两边取拉普拉斯变换（利用微分性质： $L {f^{'} (t)} = s F (s) - f (0)$ ）。
假设零初始条件（ $f (0) = 0, f^{'} (0) = 0$ ）。
整理得到 $G (s) = Y (s) / U (s)$ 。

案例：RLC电路传递函数

微分方程： $L C y^{''} + RC y^{'} + y = u (t)$
拉普拉斯变换： $L C s^{2} Y (s) + RC s Y (s) + Y (s) = U (s)$
传递函数： $G (s) = \frac{Y ( s )}{U ( s )} = \frac{1}{L C s ^{2} + RC s + 1}$

2.4 典型环节及其传递函数

控制系统的动态行为可分解为以下基本环节的组合：

环节名称	传递函数	时域响应特性	实例
比例环节	$K$	瞬时响应，无延迟	齿轮传动、放大器
积分环节	$\frac{K}{s}$	随时间累积（如水位持续上升）	水箱进水、电机角度控制
微分环节	$Ks$	反映变化趋势（实际系统不单独存在）	测速发电机
惯性环节	$\frac{K}{T s + 1}$	指数趋近稳态，时间常数 $T$	RC低通滤波、温度控制系统
振荡环节	$\frac{ω _{n}^{2}}{s ^{2} + 2 ζ ω _{n} s + ω _{n}^{2}}$	阻尼振荡（ $ζ < 1$ 时）	弹簧-质量-阻尼系统
时滞环节	$e^{- τ s}$	纯时间延迟 $τ$	管道传输、化工过程

2.5 结构图（Block Diagram）

1. 结构图的作用

图形化表示系统中各环节的传递函数及信号流向。
便于分析复杂系统的串联、并联、反馈连接。

2. 结构图的基本元素

方框（Block）：表示环节的传递函数 $G (s)$ 。
求和点（Summing Junction）：用“⨁”表示信号相加或相减。
分支点（Takeoff Point）：用“•”表示信号分支。

3. 结构图的等效变换规则

连接方式	等效传递函数	示意图
串联	$G_{1} (s) G_{2} (s)$	$U \to G_{1} \to G_{2} \to Y$
并联	$G_{1} (s) + G_{2} (s)$	$U \to G_{1}$ 和 $U \to G_{2}$ 输出相加
反馈	$\frac{G ( s )}{1 \pm G ( s ) H ( s )}$	前向通道 $G (s)$ ，反馈通道 $H (s)$

4. 梅森公式（Mason’s Rule）

用于直接求取复杂结构图的传递函数：

$G (s) = \frac{\sum _{k} P _{k} Δ _{k}}{Δ}$

$P_{k}$ ：第 $k$ 条前向通路增益。
$Δ$ ：系统行列式， $Δ = 1 - \sum L_{i} + \sum L_{i} L_{j} - \sum L_{i} L_{j} L_{k} + \dots$

$L_{i}$ ：各单独回路的增益。

案例：多回路系统传递函数

步骤：

识别所有前向通路（如 $P_{1} = G_{1} G_{2} G_{3}$ ）。
计算所有单独回路（如 $L_{1} = - G_{1} G_{2} H_{1}$ ）。
计算系统行列式 $Δ$ 。
代入梅森公式得到总传递函数。

习题与答案

习题1：建立微分方程

一个质量为 $m$ 的物体从高空下落，空气阻力与速度平方成正比（ $F_{d} = k v^{2}$ ），重力加速度为 $g$ 。试建立其运动方程。
答案：

$m \frac{d v}{d t} = m g - k v^{2}$

习题2：线性化非线性方程

对非线性方程 $y (t) = u (t)^{2}$ 在平衡点 $u_{0} = 2$ 附近进行线性化。
答案：

平衡点： $u_{0} = 2$ ，对应 $y_{0} = 4$ 。
增量方程： $Δ y = 2 u_{0} Δ u = 4Δ u$ 。
线性模型： $y (t) \approx 4Δ u + 4$ 。

习题3：求传递函数

已知微分方程 $2 \frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} + 3 \frac{d y}{d t} + 5 y = 4 u (t)$ ，求传递函数 $G (s)$ 。
答案：

$G (s) = \frac{4}{2 s ^{2} + 3 s + 5}$

习题4：结构图简化

简化下图结构图，求总传递函数 $Y (s) / U (s)$ ：

U(s) → [G1] → [G2] → Y(s)  
           ↑      |  
           └──[H1]←┘

答案：

反馈回路： $L_{1} = - G_{2} H_{1}$
总传递函数： $G (s) = \frac{G _{1} G _{2}}{1 + G _{2} H _{1}}$

工程案例：直流电机转速控制

微分方程： $J \frac{d ω}{d t} + bω = K_{t} i_{a}$

$J$ ：转动惯量， $b$ ：摩擦系数， $K_{t}$ ：转矩常数， $i_{a}$ ：电枢电流。

传递函数： $G (s) = \frac{Ω ( s )}{I _{a} ( s )} = \frac{K _{t}}{J s + b}$
结构图：
```
I_a(s) → [K_t/(Js+b)] → Ω(s)
```

本章总结

数学模型是控制设计的基石：从微分方程到传递函数，再到结构图。
关键技能：

建立物理系统的微分方程。
线性化非线性系统。
利用梅森公式简化复杂结构图。

工具支持：MATLAB的Symbolic Math Toolbox可辅助推导传递函数。

在雨里写下名字

观察、理解、求解、实现人生

自动控制基础​ 第二章 控制系统的数学模型

第二章 控制系统的数学模型