在雨里写下名字

第三章 时域分析法

时域分析法通过观察系统在时间域内对输入信号的响应，评估其动态性能和稳定性。本章将全面覆盖时域分析的核心概念、数学推导、工程应用及仿真方法。

3.1 典型输入信号

时域分析中常用的测试信号如下（以单位信号为例）：

3.2 时间响应的分解

系统总响应可分解为：

• 瞬态响应：随时间衰减的暂态分量（由系统极点决定）。

• 稳态响应：时间趋于无穷时的稳定分量（由输入信号决定）。

数学表达：

$$y(t)=y_{\text{瞬态}}(t)+y_{\text{稳态}}(t)$$

3.3 系统性能指标

以单位阶跃响应为例，定义以下关键指标：

1. 上升时间 $t_r$：响应从10%到90%稳态值所需时间（衡量快速性）。

2. 峰值时间 $t_p$：响应达到第一个峰值的时间（反映振荡速度）。

3. 超调量 $\sigma \%$：最大偏差与稳态值的百分比（衡量稳定性）。$$\sigma \%=\frac{y_{\text{max}}-y_{\text{稳态}}}{y_{\text{稳态}}}\times 100\%$$

4. 调节时间 $t_s$：响应进入并保持在稳态值±5%（或±2%）误差带内的时间（综合快速性与稳定性）。

5. 稳态误差 $e_{ss}$：时间趋于无穷时的误差（衡量准确性）。

3.4 一阶系统的时域分析

1. 标准形式

传递函数：

$$G(s)=\frac{K}{Ts+1}$$

• $T$：时间常数，决定系统响应速度。

• 单位阶跃响应：$$y(t)=K(1-e^{-t/T})$$

2. 性能指标

• 上升时间 $t_r\approx 2.2T$（从10%到90%）。

• 调节时间 $t_s\approx 3T$（±5%误差带）或 $4T$（±2%）。

• 无超调，稳态误差 $e_{ss}=0$（对阶跃输入）。

3. 实例：RC低通滤波电路

• 传递函数：$G(s)=\frac{1}{RCs+1}$

• 阶跃响应：电容电压按指数曲线充电至稳态值。

3.5 二阶系统的时域分析

1. 标准形式

传递函数：

$$G(s)=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$$

• ${\omega }_n$：无阻尼自然频率（rad/s）。

• $\zeta$：阻尼比，决定响应形态。

2. 阻尼比与响应形态

3. 欠阻尼二阶系统的性能指标

• 上升时间 $t_r=\frac{\pi -\beta }{{\omega }_d}$，其中 ${\omega }_d={\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$，$\beta =\arctan \left(\frac{\sqrt{1-{\zeta }^2}}{\zeta }\right)$。

• 峰值时间 $t_p=\frac{\pi }{{\omega }_d}$。

• 超调量 $\sigma \%=e^{-\pi \zeta /\sqrt{1-{\zeta }^2}}\times 100\%$。

• 调节时间 $t_s\approx \frac{3}{\zeta {\omega }_n}$（±5%误差带）。

4. 工程实例：汽车悬架系统

• 模型：二阶系统（质量-弹簧-阻尼）。

• 设计目标：选择阻尼比 $\zeta$ 使行驶舒适性（减少超调）与操控性（快速响应）平衡。

3.6 高阶系统的时域分析

高阶系统（阶数≥3）的时域响应可由主导极点近似为低阶系统。

1. 主导极点法

• 定义：距离虚轴最近的极点对响应起主导作用。

• 近似条件：其他极点实部比主导极点实部大5倍以上。

2. 实例：三阶系统简化

• 原系统传递函数：$$G(s)=\frac{10}{(s+1)(s^2+2s+5)}$$

• 极点：$s=-1$, $s=-1\pm 2j$。

• 主导极点：$-1\pm 2j$（最靠近虚轴），近似为二阶系统：$$G_{\text{近似}}(s)=\frac{10/5}{s^2+2s+5}=\frac{2}{s^2+2s+5}$$

3.7 稳定性分析

1. 稳定的定义

• BIBO稳定：有界输入产生有界输出。

• 渐近稳定：系统自由响应随时间衰减至零（极点全在左半平面）。

2. 劳斯判据（Routh-Hurwitz Criterion）

步骤：

1. 写出系统特征方程 $a_n{s}^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +a_0=0$。

2. 构建劳斯表。

3. 根据第一列符号变化判断右半平面极点数。

劳斯表构建示例（三阶系统）：
特征方程：$s^3+3s^2+3s+1=0$
劳斯表：

$$\underset{s^0}{\overset{s^3{s}^2}{s^1}}\underset{1}{\overset{13}{\frac{3\times 3-1\times 1}{3}=\frac{8}{3}}}\stackrel{31}{0}$$

• 结论：第一列无符号变化，系统稳定。

3. 特殊情况的处理

• 某行全零：用上一行构造辅助方程，求导后继续。

• 第一列出现零：用极小量ε代替，分析符号变化。

习题与答案

习题1：一阶系统分析

某温度传感器传递函数为 $G(s)=\frac{1}{5s+1}$，求其单位阶跃响应的调节时间（±2%）。
答案：
调节时间 $t_s=4T=4\times 5=20$ 秒。

习题2：二阶系统超调量计算

已知二阶系统阻尼比 $\zeta =0.5$，求超调量 $\sigma \%$。
答案：

$$\sigma \%=e^{-\pi \times 0.5/\sqrt{1-0.5^2}}\times 100\%=e^{-\pi /\sqrt{3}}\approx 16.3\%$$

习题3：劳斯判据应用

判断特征方程 $s^4+2s^3+3s^2+4s+5=0$ 的稳定性。
答案：
构建劳斯表：

$$\underset{s^1{s}^0}{\overset{s^4{s}^3}{s^2}}\underset{\frac{1\times 4-2\times 5}{1}=-65}{\overset{12}{\frac{2\times 3-1\times 4}{2}=1}}\underset{0}{\overset{34}{\frac{2\times 5-1\times 0}{2}=5}}\stackrel{5}{0}$$

• 第一列符号变化：2次（从1到-6再到5），系统有2个右半平面极点，不稳定。

习题4：设计阻尼比

要求二阶系统的调节时间 $t_s\le 2$ 秒（±5%），超调量 $\sigma \%\le 5\%$，求 $\zeta$ 和 ${\omega }_n$ 的范围。
答案：

1. 由 $t_s\approx \frac{3}{\zeta {\omega }_n}\le 2$ → $\zeta {\omega }_n\ge 1.5$。

2. 由 $\sigma \%=e^{-\pi \zeta /\sqrt{1-{\zeta }^2}}\le 5\%$ → $\zeta \ge 0.69$。

3. 综合得 $\zeta \ge 0.69$，${\omega }_n\ge \frac{1.5}{0.69}\approx 2.17$ rad/s。

MATLAB仿真示例

1. 绘制二阶系统阶跃响应：

   matlabCopywn = 2; zeta = 0.5;
   sys = tf(wn^2, [1, 2*zeta*wn, wn^2]);
   step(sys);
   grid on;

• 调整 zeta 观察超调量和调节时间的变化。

2. 劳斯判据自动化：
   使用 routh 函数（需自定义）自动构建劳斯表。